四元數是與複數類似的一種數.

四元數實際上是建立在實數之上的一個小的層次結構的一部分, 這個層次結構僅僅包含實數集(習慣上叫做 R), 複數集(習慣上叫做 C), 四元數集(習慣上叫做 H) 以及八元數集(習慣上叫做 O), 這些數集具有有趣的數學特性(最主要的一點要於它們是可除代數(division algebras), 即. 下面的性質為真: 如果 y 是可除代數集的一個元素並且不等於0, 且 yx = yx', 其中x 和 x' 是可除代數的元素, 則一定有 x = x'). 這個層次結構中的每一個成員 都是前者的超集(super-set).

四元數最重要的方面之一在於它提供了一種高效的方法用於參數化(parameterize)在R³ (通常所說的三維空間) 和 R⁴(四維空間)中的旋轉(幾何旋轉).

在實際的術語中, 一個四元數只不過是我們可以寫作 q = α + βi + γj + δk 這種形式的四維實數(α,β,γ,δ), 其中 i 與它們在複數中的含義是一樣的, 而j 和 k 是和i本質上起相同作用的不同對像 .

定義在這種四元數之上的加法與乘法運算, 是實數和複數上的加法與乘法操作的推廣. 這裡主要的新奇之處在於 乘法運算是不可交換的 (也就是說, 存在某些四元數 x 和 y 滿足 xy ≠ yx)(譯注：也即是不滿足交換律). 一種記憶這些規則的好方法是通過使用下面的公式 i*i = j*j = k*k = -1.

在其它的 文檔 中， 四元數 (以及它們的同類數)有更加詳細的描述 ((附帶 勘誤表以及補遺).

一些傳統的概念，例如指數，不需要太大的改變就可以在四元數的領域中繼續延用, 但是其它的一些概念，比如求平方根就不能繼續延用.