#include <boost/math/distributions/cauchy.hpp>

template <class RealType = double, 
          class Policy   = policies::policy<> >
class cauchy_distribution;

typedef cauchy_distribution<> cauchy;

template <class RealType, class Policy>
class cauchy_distribution
{
public:
   typedef RealType  value_type;
   typedef Policy    policy_type;

   cauchy_distribution(RealType location = 0, RealType scale = 1);
   
   RealType location()const;
   RealType scale()const;
};

柯西－洛倫茨分佈(Cauchy-Lorentz distribution) 以 Augustin Cauchy 和 Hendrik Lorentz命名。 它是一個連續概率分佈(continuous probability distribution) ，概率分佈函數(probability distribution function) PDF 由下面的等式給定：

位置參數(location parameter) x₀ 是分佈的峰值(peak)的位置(分佈的眾數( mode of the distribution))，而尺度參數(scale parameter) γ 指定PDF函數在1/2最大高度處的1/2寬度。如果位置是0，且尺度(scale)是1，那麼結果就是標準的柯西分佈(standard Cauchy distribution)。

在物理學中這個分佈很重要，因為它是描述受力共振的微分方程(differential equation describing forced resonance)的解，而在光譜學(spectroscopy)中，它描述譜線(spectral lines)的線條形狀(line shape)。

下面的圖像顯示了當位置參數改變時，分佈的圖像是如何改變的：

而下面的圖像顯示了尺度參數(scale parameter)是如何影響分佈的：

成員函數

cauchy_distribution(RealType location = 0, RealType scale = 1);

使用位置參數(location parameter) location 和尺度參數(scale parameter) scale 構造一個柯西分佈。當這些參數使用缺省值時，結果是一個標準柯西分佈。

要求 scale > 0， 否則調用 定義域錯誤。

RealType location()const;

返回分佈的位置參數( location parameter)。

RealType scale()const;

返回分佈的尺度參數(scale parameter)。

非成員訪問函數(Non-member Accessors)

支持所有的分佈都通用的 常見的非成員訪問函數 ： 累積分佈函數(Cumulative Distribution Function)，概率密度函數(Probability Density Function)，分位點(Quantile)， 故障率函數(Hazard Function)， 累積危險函數(Cumulative Hazard Function)， 均值(mean)， 中位數(median)， 眾數(mode)， 方差(variance)， 標準差(standard deviation)， 偏斜(skewness)， 峰態(kurtosis)， 峰態超越(kurtosis_excess)， 值域(range) 以及 支持(support)。

注意：實際上柯西分佈沒有均值(mean)，標準差(standard deviation)，等等。參考數學上的未定義函數 。

為了控制這是否將會產生錯誤，使用BOOST_STATIC_ASSERTION_FAILURE來編譯，這也是缺省的設置。.

另一方面，如果調用了這些函數均值(mean)，標準差(standard deviation)，方差(variance)，偏斜(skewness)，峰態(kurtosis) 以及 峰態超越(kurtosis_excess) 將會返回一個定義域錯誤 。

隨機變量的定義域是 [-[max_value], +[min_value]].

精確度

柯西分佈使用標準庫函數tan 和 atan ，並且只會有很低的誤差率。

實現

在下面的表中， x₀ 是位置參數( location parameter)，γ 是尺度參數( scale parameter)，x 是隨機變量，p 是概率，且 q = 1-p。

參考資料