#include <boost/math/distributions/chi_squared.hpp>

namespace boost{ namespace math{ 

template <class RealType = double, 
          class Policy   = policies::policy<> >
class chi_squared_distribution;

typedef chi_squared_distribution<> chi_squared;

template <class RealType, class Policy>
class chi_squared_distribution
{
public:
   typedef RealType  value_type;
   typedef Policy    policy_type;

   // 構造函數:
   chi_squared_distribution(RealType i);

   // 參數訪問函數(Accessor to parameter):
   RealType degrees_of_freedom()const;

   // 參數估計(Parameter estimation):
   static RealType find_degrees_of_freedom(
      RealType difference_from_mean,
      RealType alpha,
      RealType beta,
      RealType sd,
      RealType hint = 100);
};

}} // namespaces

χ方形分佈(Chi-Squared distribution)是統計測試中使用最廣泛的分佈之一。如果χ_i 是 ν 獨立的， 正態分佈隨機變量的均值(means)為 μ_i 且 方差(variances)為 σ_i²，那麼隨機變量：

按照χ方形分佈( Chi-Squared distribution )來進行分佈。

χ方形分佈( Chi-Squared distribution )是γ分佈(gamma distribution)的一個特例，並且有一個參數 ν 來指定自由度(degrees of freedom)。下面的圖像顯示了對於不同的ν值，分佈是如何改變的：

成員函數

chi_squared_distribution(RealType v);

使用自由度ν來構造一個χ方形分佈( Chi-Squared distribution )。

要求 v > 0， 否則調用定義域錯誤。

RealType degrees_of_freedom()const;

返回構造這個分佈的參數v。

static RealType find_degrees_of_freedom(
   RealType difference_from_variance,
   RealType alpha,
   RealType beta,
   RealType variance,
   RealType hint = 100);

估算在針對相等的標準差進行的χ方形測試(Chi-Squared test)中檢測出與標稱方差( nominal variance)的差值所需要的樣本大小。

注意：這種計算使用方差(variances)而不是標準差( standard deviations)進行計算 。

參數difference_from_variance 的符號很重要：χ方形分佈(Chi Squared distribution)是非對稱的，而且調用者必須事先決定是否針對於方差(variance)大於標稱值( nominal value)進行測試(正的difference_from_variance) 或是 針對於方差(variance)小於標稱值( nominal value)進行測試(負的difference_from_variance)。如果是後者，那麼很明顯地，要求variance + difference_from_variance > 0，因為沒有樣本可以有一個負的方差( negative variance)!

這個計算過程使用Diamond, W. J. (1989). Practical Experiment Designs, Van-Nostrand Reinhold, New York中描述的方法。

參見the NIST Engineering Statistics Handbook, Section 7.2.3.2中關於樣本大小要求的章節。

非成員訪問函數(Non-member Accessors)

支持所有的分佈都通用的 常見的非成員訪問函數 ： 累積分佈函數(Cumulative Distribution Function)，概率密度函數(Probability Density Function)，分位點(Quantile)， 故障率函數(Hazard Function)， 累積危險函數(Cumulative Hazard Function)， 均值(mean)， 中位數(median)， 眾數(mode)， 方差(variance)， 標準差(standard deviation)， 偏斜(skewness)， 峰態(kurtosis)， 峰態超越(kurtosis_excess)， 值域(range) 以及 支持(support)。

(我們遵循眾數(mode)的通常限制：自由度(degrees of freedom)>=2， 但請注意：對於自由度(degrees of freedom)從2到0，函數pdf的最大值為0，並且作為交錯代碼(alternative code)，在註釋中提供了一個可以避免函數在眾數(mode)中不連續的擴展定義).

隨機變量的定義域為： [0, +∞]。

例子

有多個可運行的例子 說明了如何使用χ方形分佈(Chi Squared Distribution)。

精確度

χ方形分佈(Chi-Squared distribution)使用不完全γ函數(incomplete gamma functions)來實現：請參考這些函數的精度信息。

實現

在下面的表中：v 是分佈的自由度(degrees of freedom)，x 是隨機變量，p 是概率， 且 q = 1-p。

參考資料