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極值分佈(Extreme Value Distribution)

#include <boost/math/distributions/extreme.hpp>

template <class RealType = double, 
          class Policy   = policies::policy<> >
class extreme_value_distribution;

typedef extreme_value_distribution<> extreme_value;

template <class RealType, class Policy>
class extreme_value_distribution
{
public:
   typedef RealType value_type;

   extreme_value_distribution(RealType location = 0, RealType scale = 1);

   RealType scale()const;
   RealType location()const;
};

存在多種極值分佈(extreme value distributions) :這個庫所實現的極值分佈是極大值的情況, 並且通常被稱為, Fisher-Tippett 分佈, log-Weibull 分佈或Gumbel 分佈。

極值理論對於評估高度少有的事件非常重要,例如100年一遇的洪水(100-year floods)。

更多的信息可以在NIST維基百科(Wikipedia)數學世界(Mathworld),以及極值理論(Extreme value theory) 網站找到。

極值分佈類型之間的關係,這是其中之一,由極值分佈,理論和應用(Extreme Value Distributions, Theory and Applications) Samuel Kotz & Saralees Nadarajah說明。

極值分佈的PDF函數(概率分佈函數)如下:

f(x) = (1/scale) e-(x-location)/scale e-e-(x-location)/scale

在標準情況下 (scale = 1, location = 0) 簡化為:

f(x) = e-xe-e-x

下面的圖像顯示了PDF函數隨位置參數(location parameter)改變而發生的變化:

下面的圖像顯示了函數PDF隨尺度參數變化而發生的變化:

成員函數
extreme_value_distribution(RealType location = 0, RealType scale = 1);

使用指定的位置參數(location parameter)和尺度參數(scale parameter)來構造一個極值分佈。

要求scale > 0, 否則調用定義域錯誤

RealType location()const;

返回極值分佈的位置參數( location parameter)。

RealType scale()const;

返回極值分佈的尺度參數(scale parameter)。

非成員訪問函數(Non-member Accessors)

支持所有的分佈都通用的 常見的非成員訪問函數累積分佈函數(Cumulative Distribution Function)概率密度函數(Probability Density Function)分位點(Quantile)故障率函數(Hazard Function)累積危險函數(Cumulative Hazard Function)均值(mean)中位數(median)眾數(mode)方差(variance)標準差(standard deviation)偏斜(skewness)峰態(kurtosis)峰態超越(kurtosis_excess)值域(range) 以及 支持(support)

隨機變量的定義域: [-∞, +∞].

精確度

極值分佈使用標準庫函數explog 來實現,並且誤差率(error rates)很低。

實現

在下面的表中:a 是位置參數( location parameter),b 是尺度參數( scale parameter),x 是隨機變量,p 是概率且 q = 1-p

函數

實現註解

pdf

使用關係: pdf = exp((a-x)/b) * exp(-exp((a-x)/b)) / b

cdf

使用關係: p = exp(-exp((a-x)/b))

cdf 補集(complement)

使用關係: q = -expm1(-exp((a-x)/b))

分位點(quantile)

使用關係: a - log(-log(p)) * b

補集(complement)的分位點(quantile)

使用關係:a - log(-log1p(-q)) * b

均值(mean)

a + Euler-Mascheroni-constant * b

標準差(standard deviation)

pi * b / sqrt(6)

眾數(mode)

與位置參數( location parameter) a相同。

偏斜(skewness)

12 * sqrt(6) * zeta(3) / pi3

峰態(kurtosis)

27 / 5

峰態超越(kurtosis excess)

kurtosis - 3 or 12 / 5


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