F Distribution

F分佈(F Distribution)

#include <boost/math/distributions/fisher_f.hpp>

namespace boost{ namespace math{ 
   
template <class RealType = double, 
          class Policy   = policies::policy<> >
class fisher_f_distribution;

typedef fisher_f_distribution<> fisher_f;

template <class RealType, class Policy>
class fisher_f_distribution
{
public:
   typedef RealType value_type;
   
   // 構造:
   fisher_f_distribution(const RealType& i, const RealType& j);
   
   // 訪問函數(Accessors):
   RealType degrees_of_freedom1()const;
   RealType degrees_of_freedom2()const;
};

}} //namespaces

F分佈(F distribution)是一個連續分佈，在測試兩個樣本是否有相同的方差(variance)的時候使用.。如果χ²_m 和 χ²_n 是獨立的變量，並且是自由度(degrees of freedom)為m和n的χ方形分佈(Chi-Squared)，那麼檢驗統計量(test statistic)：

F_n,m = (χ²_n / n) / (χ²_m / m)

在區間 [0, ∞] 是一個F分佈( F distribution)，且PDF函數(概率分佈函數)為：

下面的圖像顯示了依據於兩個自由度(degree of freedom)參數的變化，PDF函數發生的變化：

成員函數

fisher_f_distribution(const RealType& df1, const RealType& df2);

使用分子(numerator)自由度(degree of freedom) df1 和分母(denominator)自由度(degrees of freedom) df2來構造一個F分佈(F Distribution)。

要求：df1 和 df2 都大於0，否則調用定義域錯誤。

RealType degrees_of_freedom1()const;

返回構造F分佈(F Distribution)的分子( numerator)自由度( degrees of freedom )參數。

RealType degrees_of_freedom2()const;

返回構造F分佈(F Distribution)的分母( denominator)自由度( degrees of freedom )參數。

非成員訪問函數(Non-member Accessors)

支持所有的分佈都通用的常見的非成員訪問函數：累積分佈函數(Cumulative Distribution Function)，概率密度函數(Probability Density Function)，分位點(Quantile)，故障率函數(Hazard Function)，累積危險函數(Cumulative Hazard Function)，均值(mean)，中位數(median)，眾數(mode)，方差(variance)，標準差(standard deviation)，偏斜(skewness)，峰態(kurtosis)，峰態超越(kurtosis_excess)，值域(range) 以及支持(support)。

隨機變量的定義域為： [0, +∞]。

例子

有多個舉例說明F分佈(F Distribution)的可運行的例子。

精確性

正態分佈( normal distribution)使用不完全β函數(incomplete beta function) 來實現，並且是反函數(inverses)，參看這些函數瞭解精度信息。

實現

在下面的表中：v1 和 v2 是F分佈(F Distribution)的第一個和第二個自由度(degree of freedom)參數，x 是隨機變量，p 是概率，且 q = 1-p。

函數	實現註解
pdf	PDF函數的一般形式如下：然而，在不出現精度和數值溢出(numeric overflow)的情況下，這種形式很難直接計算。函數CDF的直接微分(Direct differentiation)通過不完全β函數的形式來表示。產生下面兩個方程： f_v1,v2(x) = y * ibeta_derivative(v2 / 2, v1 / 2, v2 / (v2 + v1 * x)) 其中 y = (v2 * v1) / ((v2 + v1 * x) * (v2 + v1 * x)) 以及 f_v1,v2(x) = y * ibeta_derivative(v1 / 2, v2 / 2, v1 * x / (v2 + v1 * x)) 其中 y = (z * v1 - x * v1 * v1) / z² 且 z = v2 + v1 * x v1 * x > v2時使用第一個方程，否則使用第二個方程。目的是使得函數ibeta_derivative 的參數x遠離 1 來避免捨入誤差。
cdf	使用下面的關係： p = ibeta(v1 / 2, v2 / 2, v1 * x / (v2 + v1 * x)) 且 p = ibetac(v2 / 2, v1 / 2, v2 / (v2 + v1 * x)) 當 v1 * x > v2使用第一個方程，否則使用第二個方程。目的是使得函數ibeta 的參數x遠離 1 來避免捨入誤差。
cdf 補集(complement)	使用下面的關係： p = ibetac(v1 / 2, v2 / 2, v1 * x / (v2 + v1 * x)) 且 p = ibeta(v2 / 2, v1 / 2, v2 / (v2 + v1 * x)) 當 v1 * x < v2時使用第一個方程，否則使用第二個方程。目的是使得函數ibeta 的參數x遠離 1 來避免捨入誤差。
分位點(quantile)	使用下面的關係： x = v2 * a / (v1 * b) 其中： a = ibeta_inv(v1 / 2, v2 / 2, p) 且 b = 1 - a 分位點(Quantities) a t b 都使用函數 ibeta_inv 來計算而沒有使用減法運算。
補集(complement)的分位點(quantile)	使用下面的關係： x = v2 * a / (v1 * b) 其中： a = ibetac_inv(v1 / 2, v2 / 2, p) 且 b = 1 - a 分位點(Quantities) a t b 都使用函數ibetac_inv 來計算而沒有使用減法運算。
均值(mean)	v2 / (v2 - 2)
方差(variance)	2 * v2² * (v1 + v2 - 2) / (v1 * (v2 - 2) * (v2 - 2) * (v2 - 4))
眾數(mode)	v2 * (v1 - 2) / (v1 * (v2 + 2))
偏斜(skewness)	2 * (v2 + 2 * v1 - 2) * sqrt((2 * v2 - 8) / (v1 * (v2 + v1 - 2))) / (v2 - 6)
峰態(kurtosis)和峰態超越(kurtosis excess)	參照，Weisstein, Eric W. "F-Distribution." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.