#include <boost/math/distributions/gamma.hpp>

namespace boost{ namespace math{ 
   
template <class RealType = double, 
          class Policy   = policies::policy<> >
class gamma_distribution
{
public:
   typedef RealType value_type;
   typedef Policy   policy_type;

   gamma_distribution(RealType shape, RealType scale = 1)

   RealType shape()const;
   RealType scale()const;
};

}} // namespaces

γ分佈( gamma distribution )是一個連續分佈。當尺度參數是一個整數的時候，γ分佈(gamma distribution)被稱為Erlang 分佈(Erlang Distribution)。它與泊松分佈( Poisson Distribution)和χ方形分佈(Chi Squared Distributions)聯繫緊密。

當尺度參數是一個整數的時候，γ分佈( gamma distribution )是一個Erlang 分佈。因為這可以通過尺度參數的值為一個大於0的整數來確保，Erlang 分佈沒有分開來實現。

	注意
	為了避免與γ函數的潛在混淆，這個γ分佈沒有提供下面的typedef： typedef gamma_distibution<double> gamma; 反之，如果你想要使用一個double精度的γ分佈，你可以使用： boost::gamma_distribution<>

對於形狀參數(shape parameter) k 和尺度參數(scale parameter) θ，由概率密度函數(probability density function)來定義 ：

有時會使用一個可選的方程：給定參數α= k 且 β= 1 / θ，那麼分佈可以由函數PDF定義為：

在這種形式下，尺度參數(scale parameter)的逆元(inverse)被稱為：速度參數(rate parameter)。

兩種形式都在通常的應用之中：這個庫始終使用第一種形式。因此，為了使用速率參數(rate parameter)來構造一個γ分佈(Gamma Distribution) ，你應該將速率參數(rate parameter)的倒數(reciprocal)作為尺度參數( scale parameter)。

下面的圖像顯示了當參數變化時，γ分佈的PDF函數的變化：

Erlang Distribution 與γ分佈是相同的，但是形狀參數(shape parameter)是一個整數。它通常使用速率(rate) 而不是尺度(scale) 作為第二個參數(回憶一下，速率(rate)是尺度(scale)的倒數(reciprocal))。

在內部，用於實現γ分佈(Gamma Distribution)的這些函數已經針對於小整數參數進行了優化，因此，總體來說，使用一個γ分佈(Gamma Distribution)而不使用一個專門的Erlang 分佈(Erlang Distribution)不會在性能上帶來損失。

成員函數

gamma_distribution(RealType shape, RealType scale = 1);

使用形狀參數(shape paramenter)shape 和尺度參數(scale paramenter) scale來構造一個γ分佈(Gamma Distribution)。

要求：形狀參數( shape parameter ) 和尺度參數( scale parameters )大於0，否則調用定義域錯誤。

RealType shape()const;

返回分佈的形狀參數(shape parameter)shape。

RealType scale()const;

返回分佈的尺度參數(scale parameter)scale。

非成員訪問函數(Non-member Accessors)

支持所有的分佈都通用的 常見的非成員訪問函數 ： 累積分佈函數(Cumulative Distribution Function)，概率密度函數(Probability Density Function)，分位點(Quantile)， 故障率函數(Hazard Function)， 累積危險函數(Cumulative Hazard Function)， 均值(mean)， 中位數(median)， 眾數(mode)， 方差(variance)， 標準差(standard deviation)， 偏斜(skewness)， 峰態(kurtosis)， 峰態超越(kurtosis_excess)， 值域(range) 以及 支持(support)。

隨機變量的定義域為： [0,+∞].。

精確度

對數正態分佈( lognormal distribution)通過不完全γ函數 gamma_p 和gamma_q 以及它們的反函數gamma_p_inv 和gamma_q_inv來實現：參看這些函數瞭解精度信息。

實現

在下面的表中：k 是形狀參數(shape parameter)，θ 是尺度參數( scale parameter)，x 是隨機變量，p 是概率且 q = 1-p。