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非中心F分佈(Noncentral F Distribution)

#include <boost/math/distributions/non_central_f.hpp>

namespace boost{ namespace math{ 

template <class RealType = double, 
          class Policy   = policies::policy<> >
class non_central_f_distribution;

typedef non_central_f_distribution<> non_central_f;

template <class RealType, class Policy>
class non_central_f_distribution
{
public:
   typedef RealType  value_type;
   typedef Policy    policy_type;

   // 構造函數:
   non_central_f_distribution(RealType v1, RealType v2, RealType lambda);

   // 自由度參數(degree of freedom)v1 & v2 訪問函數(Accessor):
   RealType degrees_of_freedom1()const;
   RealType degrees_of_freedom2()const;

   //非中心參數( non-centrality parameter )lambda訪問函數(Accessor):
   RealType non_centrality()const;
};

}} // namespaces

非中心F分佈(noncentral F distribution)是Fisher F Distribution的一般化。比(ratio):

F = (X/v1) / (Y/v2)

其中 X 是自由度(degree of freedom)為v1且非中心參數(non-centrality parameter)為λ的一個非中心(noncentral) χ2 隨機變量,且 Y 是自由度為 v2 的中心(central) χ2 隨機變量:

給出下面的PDF函數(概率密度函數):

其中 Lab(c)是一般化的拉格朗日多項式(Laguerre polynomial)且B(a,b) 是 β 函數,或者

下面的圖像顯示了對於不同的λ值,分佈是如何改變的:

函數
non_central_f_distribution(RealType v1, RealType v2, RealType lambda);

使用參數v1v2 以及非中心參數( non-centrality parameter) lambda來構造一個非中心β分佈(non-central beta distribution)。

要求 v1 > 0, v2 > 0 且 lambda >= 0, 否則調用定義域錯誤

RealType degrees_of_freedom1()const;

返回構造分佈的參數v1

RealType degrees_of_freedom2()const;

返回構造分佈的參數v2

RealType non_centrality()const;

返回構造分佈的非中心參數(non-centrality parameter) lambda

非成員訪問函數(Non-member Accessors)

支持所有的分佈都通用的 常見的非成員訪問函數累積分佈函數(Cumulative Distribution Function)概率密度函數(Probability Density Function)分位點(Quantile)故障率函數(Hazard Function)累積危險函數(Cumulative Hazard Function)均值(mean)中位數(median)眾數(mode)方差(variance)標準差(standard deviation)偏斜(skewness)峰態(kurtosis)峰態超越(kurtosis_excess)值域(range) 以及 支持(support)

隨機變量的定義域為:[0, +∞].

精確度

這個分佈使用非中心β分佈(Noncentral Beta Distribution)來實現:參考非中心β分佈瞭解精度信息。

測試

因為這個分佈是通過另一個分佈來實現的,因此測試由R-2.5.1 數學庫統計包 及其 pbeta 函數和 dbeta 函數計算出的數據進行的基本的合理性檢查(basic sanity checks)組成。

實現

在下面的表中,v1v2 是分佈的第一個和第二個自由度參數(degrees of freedom parameters),λ 是非中心參數( non-centrality parameter),x 是隨機變量,p 是概率,且 q = 1-p

函數

實現註解

pdf

使用非中心 β PDF函數( non-central beta PDF)並使用下面關係實現:

f(x;v1,v2;λ) = (v1/v2) / ((1+y)*(1+y)) * g(y/(1+y);v1/2,v2/2;λ)

其中 g(x; a, b; λ)非中心 β PDF函數( non-central beta PDF),且:

y = x * v1 / v2

cdf

使用關係:

p = By(v1/2, v2/2; λ)

其中 Bx(a, b; λ)是非中心β分佈CDF( noncentral beta distribution CDF)且

y = x * v1 / v2

cdf 補集(complement)

使用關係:

q = 1 - By(v1/2, v2/2; λ)

其中 1 - Bx(a, b; λ) 是非中心β分佈CDF的補集(complement of the noncentral beta distribution CDF)且

y = x * v1 / v2

分位點(quantile)

使用關係:

x = (bx / (1-bx)) * (v1 / v2)

其中

bx = Qp-1(v1/2, v2/2; λ)

Qp-1(v1/2, v2/2; λ)

是非中心β分位點(noncentral beta quantile)。

補集的分位點(quantile

from the complement )

使用關係:

x = (bx / (1-bx)) * (v1 / v2)

其中

bx = QCq-1(v1/2, v2/2; λ)

QCq-1(v1/2, v2/2; λ)

是補集的非中心β分位點( noncentral beta quantile from the complement)。

均值(mean)

v2 * (v1 + l) / (v1 * (v2 - 2))

眾數(mode)

通過PDF函數的數值極大性(numeric maximalisation)。

方差(variance)

參考,Weisstein, Eric W. "Noncentral F-Distribution." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.

偏斜(skewness)

參考 Weisstein, Eric W. "Noncentral F-Distribution." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.,以及Mathematica documentation

峰態以及峰態超越(kurtosis and kurtosis excess)

參考,Weisstein, Eric W. "Noncentral F-Distribution." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.,以及Mathematica documentation

非中心分佈(noncentral distributions)的一些解析屬性(analytic properties)(尤其是眾數(mode)的單峰分佈(unimodality),以及單翟(monotonicity))由:

Andrea van Aubel & Wolfgang Gawronski, Applied Mathematics and Computation, 141 (2003) 3-12.

概括和總結。


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