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巴萊多分佈(Pareto Distribution)

#include <boost/math/distributions/pareto.hpp>

namespace boost{ namespace math{ 
   
template <class RealType = double, 
          class Policy   = policies::policy<> >
class pareto_distribution;

typedef pareto_distribution<> pareto;

template <class RealType, class Policy>
class pareto_distribution
{
public:
   typedef RealType value_type;
   // 構造函數:
   pareto_distribution(RealType location = 1, RealType shape = 1)
   // 訪問函數(Accessors):
   RealType location()const;
   RealType shape()const;
};

}} // namespaces

巴萊多分佈(Pareto distribution) 是一個連續分佈,概率密度函數(probability density function (pdf))為:

f(x; α, β) = αβα / xα+ 1

對於形狀參數(shape parameter) α > 0,以及位置參數( location parameter) β > 0,且α > 0。

巴萊多分佈(Pareto distribution) 經常用於描述與較小量相比的較大量(the larger compared to the smaller)。一個經典的例子是80%的財富被20%的人擁有( A classic example is that 80% of the wealth is owned by 20% of the population)。

下面的圖像顯示了當位置參數 β 發垂變化時函數PDF的變化:

下面的圖像顯示了對於不同的形狀參數(shape parameter),PDF函數是如何變化的:

相關分佈
分佈函數
pareto_distribution(RealType location = 1, RealType shape = 1);

使用形狀參數(shape parameter)shape 和尺度參數(scale parameter)scale構造一個 巴萊多分佈(pareto distribution)

要求形狀參數(shape parameter) shape 和尺度參數(scale parameter)scale 都大於0,否則調用定義域錯誤

RealType location()const;

返回構造分佈的位置參數(location parameter)location

RealType shape()const;

返回構造分佈的形狀參數(shape parameter)shape

非成員訪問函數(Non-member Accessors)

支持所有的分佈都通用的 常見的非成員訪問函數累積分佈函數(Cumulative Distribution Function)概率密度函數(Probability Density Function)分位點(Quantile)故障率函數(Hazard Function)累積危險函數(Cumulative Hazard Function)均值(mean)中位數(median)眾數(mode)方差(variance)標準差(standard deviation)偏斜(skewness)峰態(kurtosis)峰態超越(kurtosis_excess)值域(range) 以及 支持(support)

隨機變量的定義域為:[location, ∞]。

精確度

巴萊多分佈(pareto distribution)使用標準庫函數exp加上expm1 函數實現,因此誤差率(error rate)非常低,除非概率非常接近於單位元素(unity) 。

實現

在下面的表中,α 是形狀參數( shape parameter),β 是位置參數( location parameter),x 是隨機變量,p 是概率且它的補集 q = 1-p

函數

實現註解

pdf

使用關係: pdf p = αβα/xα +1

cdf

使用關係: cdf p = 1 - (β / x)α

cdf 補集(complement)

使用關係: q = 1 - p = -(β / x)α

分位點(quantile )

使用關係: x = α / (1 - p)1/β

補集的分位點(quantile from the complement)

使用關係: x = α / (q)1/β

均值(mean)

αβ / (β - 1)

方差(variance)

βα2 / (β - 1)2 (β - 2)

眾數(mode)

α

偏斜(skewness)

參考Weisstein, Eric W. "Pareto Distribution." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.

峰態(kurtosis)

參考Weisstein, Eric W. "Pareto Distribution." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.

峰態超越(kurtosis excess)

參考Weisstein, Eric W. "pareto Distribution." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.

參考資料

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