#include <boost/math/distributions/pareto.hpp>

namespace boost{ namespace math{ 
   
template <class RealType = double, 
          class Policy   = policies::policy<> >
class pareto_distribution;

typedef pareto_distribution<> pareto;

template <class RealType, class Policy>
class pareto_distribution
{
public:
   typedef RealType value_type;
   // 構造函數:
   pareto_distribution(RealType location = 1, RealType shape = 1)
   // 訪問函數(Accessors):
   RealType location()const;
   RealType shape()const;
};

}} // namespaces

巴萊多分佈(Pareto distribution) 是一個連續分佈，概率密度函數(probability density function (pdf))為：

f(x; α, β) = αβ^α / x^{α+ 1}

對於形狀參數(shape parameter) α > 0，以及位置參數( location parameter) β > 0，且α > 0。

巴萊多分佈(Pareto distribution) 經常用於描述與較小量相比的較大量(the larger compared to the smaller)。一個經典的例子是80%的財富被20%的人擁有( A classic example is that 80% of the wealth is owned by 20% of the population)。

下面的圖像顯示了當位置參數 β 發垂變化時函數PDF的變化：

下面的圖像顯示了對於不同的形狀參數(shape parameter)，PDF函數是如何變化的：

相關分佈

分佈函數

pareto_distribution(RealType location = 1, RealType shape = 1);

使用形狀參數(shape parameter)shape 和尺度參數(scale parameter)scale構造一個 巴萊多分佈(pareto distribution) 。

要求形狀參數(shape parameter) shape 和尺度參數(scale parameter)scale 都大於0，否則調用定義域錯誤。

RealType location()const;

返回構造分佈的位置參數(location parameter)location 。

RealType shape()const;

返回構造分佈的形狀參數(shape parameter)shape 。

非成員訪問函數(Non-member Accessors)

支持所有的分佈都通用的 常見的非成員訪問函數 ： 累積分佈函數(Cumulative Distribution Function)，概率密度函數(Probability Density Function)，分位點(Quantile)， 故障率函數(Hazard Function)， 累積危險函數(Cumulative Hazard Function)， 均值(mean)， 中位數(median)， 眾數(mode)， 方差(variance)， 標準差(standard deviation)， 偏斜(skewness)， 峰態(kurtosis)， 峰態超越(kurtosis_excess)， 值域(range) 以及 支持(support)。

隨機變量的定義域為：[location, ∞]。

精確度

巴萊多分佈(pareto distribution)使用標準庫函數exp加上expm1 函數實現，因此誤差率(error rate)非常低，除非概率非常接近於單位元素(unity) 。

實現

在下面的表中，α 是形狀參數( shape parameter)，β 是位置參數( location parameter)，x 是隨機變量，p 是概率且它的補集 q = 1-p。

參考資料