#include <boost/math/distributions/poisson.hpp>

namespace boost { namespace math {

template <class RealType = double, 
          class Policy   = policies::policy<> >
class poisson_distribution;

typedef poisson_distribution<> poisson;

template <class RealType, class Policy>
class poisson_distribution
{ 
public:
  typedef RealType value_type;
  typedef Policy   policy_type;
  
  poisson_distribution(RealType mean = 1); // Constructor.
  RealType mean()const; // Accessor.
}
 
}} // namespaces boost::math

泊松分佈(Poisson distribution) 是一個著名的離散統計分佈(statistical discrete distribution)。 這用於描述在一個固定的時間段內許多事件(失敗，到達，出現......)發生的概率，假定這些事件以一個已知的平均速率(mean rate)λ (events/time)發生，並且與上一次事件發生的時間相互獨立。

這個分佈由 Sim?on-Denis Poisson (1781 to 1840)發現。

概率質量函數(Probability Mass Function)為：

對於 k 個事件，預期的事件數( expected number of events)為λ。

下面的圖像對於不同的參數λ，PDF函數是如何變化的：

注意

泊松分佈(Poisson distribution)是一個離散分佈(discrete distribution)： 內部函數(例如cdf和pdf)被當作它們「好像是」連續函數一樣，但實際上，僅當將整數值提供給隨機變量的時候這些函數才返回有意義的值。 分位點函數將會缺省返回一個向外捨入( rounded outwards)的整數值。也就是說，下分位點(lower quantiles)(概率小於0.5)向下捨入;上分位點(upper quantiles)(概率大於0.5)向上捨入。這種行為確保如果返回一個X%分位點值，那麼至少目標的覆蓋範圍將會在中心區域顯示，不是要求的覆蓋範圍將會在尾部(tails)顯示。 這種行為可以改變，使得分位點函數可以進行不同的捨入，或者甚至使用策略來返回一個實值(real-valued)。在你使用二項分佈的分位點函數之前，強烈推薦你閱讀理解分佈的分位點 。參考文檔 描述了如何為這些分佈改變捨入策略。

成員函數

poisson_distribution(RealType mean = 1);

使用均值(mean)mean構造一個泊松分佈(Poisson Distribution)。

RealType mean()const;

返回分佈的均值(mean)mean。

非成員訪問函數(Non-member Accessors)

支持所有的分佈都通用的 常見的非成員訪問函數 ： 累積分佈函數(Cumulative Distribution Function)，概率密度函數(Probability Density Function)，分位點(Quantile)， 故障率函數(Hazard Function)， 累積危險函數(Cumulative Hazard Function)， 均值(mean)， 中位數(median)， 眾數(mode)， 方差(variance)， 標準差(standard deviation)， 偏斜(skewness)， 峰態(kurtosis)， 峰態超越(kurtosis_excess)， 值域(range) 以及 支持(support)。

隨機變量的定義域為：[0, ∞]。

精確度

泊松分佈(Poisson distribution)使用不完全γ函數gamma_p 和gamma_q 來實現，並且誤差率(error rate)很低：請參考這些函數的文檔瞭解更多 信息。因此分位點(quantile)和它的補集(complement)的精度可能稍有些低：這是因為γ函數的反函數使用迭代的方法來計算並且對於過度計算(excessive computation)只有一個較低的容許度(tolerance)。

實現

在下面的表中，λ 是分佈的均值(mean)，k 是隨機變量，p 是概率，且 q = 1-p。