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韋泊爾分佈(Weibull Distribution)

#include <boost/math/distributions/weibull.hpp>

namespace boost{ namespace math{ 
   
template <class RealType = double, 
          class Policy   = policies::policy<> >
class weibull_distribution;

typedef weibull_distribution<> weibull;

template <class RealType, class Policy>
class weibull_distribution
{
public:
   typedef RealType value_type;
   typedef Policy   policy_type;
   // 構造:
   weibull_distribution(RealType shape, RealType scale = 1)
   // 訪問函數(Accessors):
   RealType shape()const;
   RealType scale()const;
};

}} // namespaces

韋泊爾分佈(Weibull distribution) 是一個連續分佈,概率密度函數為(probability density function)

f(x; α, β) = (α/β) * (x / β)α - 1 * e-(x/β)α

對於形狀參數(shape parameter) α > 0,尺度參數(scale parameter) β > 0,且 x > 0。

韋泊爾分佈(Weibull distribution)通常用在故障分析領域( field of failure analysis)中;尤其是它可以模擬(mimic) 故障率(failture rate)持續( over time)變化的分佈。故障率為:

下面的圖像顯示了當形狀參數(shape parameter) α 發生變化時,函數PDF發生的變化:

下面這個圖像顯示當尺度參數(scale parameter) β 發生變化時,函數PDF的變化:

相關分佈

當α = 3時,韋泊爾分佈(Weibull distribution) 類似於正態分佈(normal distribution)。 當 α = 1時, 韋泊爾分佈(Weibull distribution)簡化為( reduces to) 指數分佈(exponential distribution)。 極值分佈(extreme value distribution)類型之間的關係,韋泊爾分佈僅是其中之一,由Extreme Value Distributions, Theory and Applications Samuel Kotz & Saralees Nadarajah進行討論。

成員函數
weibull_distribution(RealType shape, RealType scale = 1);

使用形狀參數(shape parameter)shape 和尺度參數(scale parameter)scale來構造一個韋泊爾分佈(Weibull distribution)

要求shapescale 參數都大於0,否則調用定義域錯誤

RealType shape()const;

返回分佈的shape參數。

RealType scale()const;

返回分佈的scale 參數。

非成員訪問函數(Non-member Accessors)

支持所有的分佈都通用的 常見的非成員訪問函數累積分佈函數(Cumulative Distribution Function)概率密度函數(Probability Density Function)分位點(Quantile)故障率函數(Hazard Function)累積危險函數(Cumulative Hazard Function)均值(mean)中位數(median)眾數(mode)方差(variance)標準差(standard deviation)偏斜(skewness)峰態(kurtosis)峰態超越(kurtosis_excess)值域(range) 以及 支持(support)

隨機變量的定義域: [0, ∞]。

精確度

韋泊爾分佈(Weibull distribution)使用標準庫函數logexp 加上 expm1log1p 實現,因此誤差率(error rate )將非常低。

實現

下面的表中:α 是形狀參數(shape parameter),β 是尺度參數( scale parameter),x 是隨機變量,p 是概率且 q = 1-p

函數

實現註解

pdf

使用關係: pdf = αβxα - 1 e-(x/beta)alpha

cdf

使用關係: p = -expm1(-(x/β)α)

cdf 補集(complement)

使用關係: q = e-(x/β)α

分位點(quantile)

使用關係: x = β * (-log1p(-p))1/α

補集的分位點(quantile from the complement)

使用關係: x = β * (-log(q))1/α

均值(mean)

β * Γ(1 + 1/α)

方差(variance)

β2(Γ(1 + 2/α) - Γ2(1 + 1/α))

眾數(mode)

β((α - 1) / α)1/α

偏斜(skewness)

參考Weisstein, Eric W. "Weibull Distribution." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.

峰態(kurtosis)

參考Weisstein, Eric W. "Weibull Distribution." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.

峰態超越(kurtosis excess )

參考Weisstein, Eric W. "Weibull Distribution." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.

參考資料

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