#include <boost/math/distributions/weibull.hpp>

namespace boost{ namespace math{ 
   
template <class RealType = double, 
          class Policy   = policies::policy<> >
class weibull_distribution;

typedef weibull_distribution<> weibull;

template <class RealType, class Policy>
class weibull_distribution
{
public:
   typedef RealType value_type;
   typedef Policy   policy_type;
   // 構造:
   weibull_distribution(RealType shape, RealType scale = 1)
   // 訪問函數(Accessors):
   RealType shape()const;
   RealType scale()const;
};

}} // namespaces

韋泊爾分佈(Weibull distribution) 是一個連續分佈，概率密度函數為(probability density function)：

f(x; α, β) = (α/β) * (x / β)^{α - 1} * e^-(x/β)α

對於形狀參數(shape parameter) α > 0，尺度參數(scale parameter) β > 0，且 x > 0。

韋泊爾分佈(Weibull distribution)通常用在故障分析領域( field of failure analysis)中；尤其是它可以模擬(mimic) 故障率(failture rate)持續( over time)變化的分佈。故障率為：

下面的圖像顯示了當形狀參數(shape parameter) α 發生變化時，函數PDF發生的變化：

下面這個圖像顯示當尺度參數(scale parameter) β 發生變化時，函數PDF的變化：

相關分佈

當α = 3時，韋泊爾分佈(Weibull distribution) 類似於正態分佈(normal distribution)。 當 α = 1時， 韋泊爾分佈(Weibull distribution)簡化為( reduces to) 指數分佈(exponential distribution)。 極值分佈(extreme value distribution)類型之間的關係，韋泊爾分佈僅是其中之一，由Extreme Value Distributions, Theory and Applications Samuel Kotz & Saralees Nadarajah進行討論。

成員函數

weibull_distribution(RealType shape, RealType scale = 1);

使用形狀參數(shape parameter)shape 和尺度參數(scale parameter)scale來構造一個韋泊爾分佈(Weibull distribution) 。

要求shape 和 scale 參數都大於0，否則調用定義域錯誤。

RealType shape()const;

返回分佈的shape參數。

RealType scale()const;

返回分佈的scale 參數。

非成員訪問函數(Non-member Accessors)

支持所有的分佈都通用的 常見的非成員訪問函數 ： 累積分佈函數(Cumulative Distribution Function)，概率密度函數(Probability Density Function)，分位點(Quantile)， 故障率函數(Hazard Function)， 累積危險函數(Cumulative Hazard Function)， 均值(mean)， 中位數(median)， 眾數(mode)， 方差(variance)， 標準差(standard deviation)， 偏斜(skewness)， 峰態(kurtosis)， 峰態超越(kurtosis_excess)， 值域(range) 以及 支持(support)。

隨機變量的定義域： [0, ∞]。

精確度

韋泊爾分佈(Weibull distribution)使用標準庫函數log 和 exp 加上 expm1 和log1p 實現，因此誤差率(error rate )將非常低。

實現

下面的表中：α 是形狀參數(shape parameter)，β 是尺度參數( scale parameter)，x 是隨機變量，p 是概率且 q = 1-p。

參考資料