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貝賽爾函數概覽

通常的貝賽爾函數

貝賽爾函數是貝賽爾常微分方程的解:

其中ν 是方程的 次數, 且可以是任意的實數或複數, 雖然整數次數是最常見的情況.

這個庫支持整數和實數次數.

因為這是一個二階微分方程, 那就必定有兩個線性無關的解, 第一個解記為 Jv 也即是通常所說的第一類貝賽爾函數:

這個函數在庫中實現為:cyl_bessel_j.

第二個解記為 Yv 或 Nv 也即是通常所說的第二類貝賽爾函數,或稱為 諾伊曼函數:

這個函數在庫中實現為: cyl_neumann.

貝賽爾函數滿足遞推關係:

導數為:

具有 Wronskian 關係:

以及 the reflection formulae:

修正貝賽爾函數

對於複數變量x,貝賽爾函數也是有效的。 一個很重要的特例是x是一個純虛數: 產生一個實數值. 在這種情況下,這個函數是修正貝賽爾函數的兩個線性無關解:

方程的解也就是通常所說的第一類修正貝賽爾函數和第二類修正貝賽爾函數 (或偶爾稱作第一類雙曲貝賽爾函數和第二類雙曲貝賽爾函數). 它們分別記作 Iv 和 Kv

這些函數在庫中分別實現為cyl_bessel_icyl_bessel_k .

修正貝賽爾函數滿足遞推關係:

導數為:

具有 Wronskian 關係:

以及反射方程:

球面貝賽爾函數

當在球面坐標繫上通過分離變量來求解Helmholtz方程的時候, 徑向方程(the radial)的形式如下:

方程的兩個線性無關解被稱作球面貝賽爾函數 jn 和 yn, 並且通過下面的方程與常見的貝賽爾函數 Jn 和 Yn 建立關係:

第二類球面貝賽爾函數 yn 也被稱作球面諾依曼函數 nn.

這些函數在庫中實現為sph_besselsph_neumann.


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