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橢圓積分概覽

橢圓積分最主要的參考資料是:

M. Abramowitz 和 I. A. Stegun (Eds.) (1964)數學函數以及方程,圖像和 數學表, 美國國家數學級數應用標準, U.S. Government Printing Office, Washington, D.C.

Mathworld 也包含了一系列的背景信息:

Weisstein, Eric W. "Elliptic Integral." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.

以及維基百科 橢圓積分.

記法

除非特別標記,所有的變量都是實數.

定義

被稱作橢圓積分,如果R(t, s)是關於ts的有理方程,且s2t內的一個三次或四次多項式.

橢圓積分通常不能以初等函數的形式來表達. 然而, 勒讓德表明所有的橢圓積分都可以轉化為以下三種標準形:

第一類橢圓積分 (勒讓德形式)

第二類橢圓積分 (勒讓德形式)

第三類橢圓積分(勒讓德形式)

其中

[Note] 注意

φ 稱作振幅.

k 稱作模.

α 稱作模角.

n 稱作特徵.

[Caution] 注意

或許與其它的特殊函數不一樣, 橢圓積分可以用各種不同的方式來表示。特別是,最後一個參數k (模) 可以用一個模角α, 或一個參數 m來表示. 它們通過下面的關係聯繫起來:

k = sinα

m = k2 = sin2α

因此第三類橢圓積分(例如) 可以表示為以下形式:

Π(n, φ, k)

Π(n, φ \ α)

Π(n, φ| m)

因為複雜的原因, 一些書籍提到參數 m的補集, 或 1 - m, 其中:

1 - m = 1 - k2 = cos2α

這個庫的實現中的kC++技術報告之庫擴展中的要求相吻合. 然而,當使用這些函數的時候你應當格外小心!

φ = π / 2, 橢圓積分稱作是完全的.

第一類完全橢圓積分 (勒讓德 形式)

第二類橢圓積分 (勒讓德形式)

第三類橢圓積分 (勒讓德 形式)

卡爾松(Carlson [Carlson77] [Carlson78]) 給出了橢圓積分標準形的另一種定義:

第一類卡爾松(Carlson)橢圓積分

其中x, y, z 是非負的 且至多其中一個為0.

第二類卡爾松(Carlson)橢圓積分

其中x, y, z 是非負的 且至多其中一個為0. 且 z 必須是正的.

第三類卡爾松(Carlson)橢圓積分

其中x, y, z 是非負的 且至多其中一個為0. 且 p 必須非0.

卡爾松(Carlson)退化橢圓積分

其中x 是非負的 且 y 非零.

[Note] 注意

RC(x, y) = RF(x, y, y)

RD(x, y, z) = RJ(x, y, z, z)

Duplication Theorem

卡爾松(Carlson)在 [Carlson78]中證明

卡爾松(Carlson)方程

勒讓德形式和卡爾松(Carlson)形式的橢圓積分由下面的方程聯繫起來:

特別地,

數值算法

計算橢圓積分的通常方法是 高斯-蘭登 變換, 二次收斂對第一類和第二類橢圓積分運用良好. 不幸的是,對於第三類橢圓積分它們存在數字精度的損失. 卡爾松(Carlson)算法 [Carlson79] [Carlson78], 相比之下, 對所有的三種橢圓積分提供了滿足精度要求的方法。

參考資料

特別提及:

A. M. Legendre, Traitd des Fonctions Elliptiques et des Integrales Euleriennes, Vol. 1. Paris (1825).

而主要的參考資料是:

  1. M. Abramowitz and I. A. Stegun (Eds.) (1964) Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, National Bureau of Standards Applied Mathematics Series, U.S. Government Printing Office, Washington, D.C.
  2. B.C. Carlson, Computing elliptic integrals by duplication, Numerische Mathematik, vol 33, 1 (1979).
  3. B.C. Carlson, Elliptic Integrals of the First Kind, SIAM Journal on Mathematical Analysis, vol 8, 231 (1977).
  4. B.C. Carlson, Short Proofs of Three Theorems on Elliptic Integrals, SIAM Journal on Mathematical Analysis, vol 9, 524 (1978).
  5. B.C. Carlson and E.M. Notis, ALGORITHM 577: Algorithms for Incomplete Elliptic Integrals, ACM Transactions on Mathematmal Software, vol 7, 398 (1981).
  6. B. C. Carlson, On computing elliptic integrals and functions. J. Math. and Phys., 44 (1965), pp. 36-51.
  7. B. C. Carlson, A table of elliptic integrals of the second kind. Math. Comp., 49 (1987), pp. 595-606. (Supplement, ibid., pp. S13-S17.)
  8. B. C. Carlson, A table of elliptic integrals of the third kind. Math. Comp., 51 (1988), pp. 267-280. (Supplement, ibid., pp. S1-S5.)
  9. B. C. Carlson, A table of elliptic integrals: cubic cases. Math. Comp., 53 (1989), pp. 327-333.
  10. B. C. Carlson, A table of elliptic integrals: one quadratic factor. Math. Comp., 56 (1991), pp. 267-280.
  11. B. C. Carlson, A table of elliptic integrals: two quadratic factors. Math. Comp., 59 (1992), pp. 165-180.
  12. B. C. Carlson, Numerical computation of real or complex elliptic integrals. Numerical Algorithms, Volume 10, Number 1 / March, 1995, p13-26.
  13. B. C. Carlson and John L. Gustafson, Asymptotic Approximations for Symmetric Elliptic Integrals, SIAM Journal on Mathematical Analysis, Volume 25, Issue 2 (March 1994), 288-303.

下面的參考資料並沒有直接與庫的實現相關, 但或許也同樣有趣:

  1. R. Burlisch, Numerical Compuation of Elliptic Integrals and Elliptic Functions. Numerical Mathematik 7, 78-90.
  2. R. Burlisch, An extension of the Bartky Transformation to Incomplete Elliptic Integrals of the Third Kind. Numerical Mathematik 13, 266-284.
  3. R. Burlisch, Numerical Compuation of Elliptic Integrals and Elliptic Functions. III. Numerical Mathematik 13, 305-315.
  4. T. Fukushima and H. Ishizaki, Numerical Computation of Incomplete Elliptic Integrals of a General Form. Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, Volume 59, Number 3 / July, 1994, 237-251.

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