橢圓積分最主要的參考資料是:
M. Abramowitz 和 I. A. Stegun (Eds.) (1964)數學函數以及方程，圖像和 數學表, 美國國家數學級數應用標準, U.S. Government Printing
Office, Washington, D.C.
Mathworld 也包含了一系列的背景信息:
以及維基百科
橢圓積分.
除非特別標記，所有的變量都是實數.
被稱作橢圓積分，如果R(t, s)是關於t 和 s的有理方程，且s2 是 t內的一個三次或四次多項式.
橢圓積分通常不能以初等函數的形式來表達. 然而, 勒讓德表明所有的橢圓積分都可以轉化為以下三種標準形:
第一類橢圓積分 (勒讓德形式)
第二類橢圓積分 (勒讓德形式)
第三類橢圓積分(勒讓德形式)
其中
![[Note]](../../../../../../../../doc/html/images/note.png) |
注意 |
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φ 稱作振幅.
k 稱作模.
α 稱作模角.
n 稱作特徵.
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![[Caution]](../../../../../../../../doc/html/images/caution.png) |
注意 |
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或許與其它的特殊函數不一樣， 橢圓積分可以用各種不同的方式來表示。特別是,最後一個參數k (模) 可以用一個模角α, 或一個參數 m來表示. 它們通過下面的關係聯繫起來:
k = sinα
m = k2 = sin2α
因此第三類橢圓積分(例如) 可以表示為以下形式:
Π(n, φ, k)
Π(n, φ \ α)
Π(n, φ| m)
因為複雜的原因, 一些書籍提到參數 m的補集, 或 1 - m, 其中:
1 - m = 1 - k2 = cos2α
這個庫的實現中的k與 C++技術報告之庫擴展中的要求相吻合. 然而，當使用這些函數的時候你應當格外小心!
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當φ = π / 2, 橢圓積分稱作是完全的.
第一類完全橢圓積分 (勒讓德 形式)
第二類橢圓積分 (勒讓德形式)
第三類橢圓積分 (勒讓德 形式)
卡爾松(Carlson [Carlson77] [Carlson78]) 給出了橢圓積分標準形的另一種定義:
第一類卡爾松(Carlson)橢圓積分
其中x, y, z
是非負的 且至多其中一個為0.
第二類卡爾松(Carlson)橢圓積分
其中x, y, z 是非負的 且至多其中一個為0. 且 z 必須是正的.
第三類卡爾松(Carlson)橢圓積分
其中x, y, z 是非負的 且至多其中一個為0. 且 p
必須非0.
卡爾松(Carlson)退化橢圓積分
其中x 是非負的 且 y
非零.
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注意 |
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RC(x, y) = RF(x, y, y)
RD(x, y, z) = RJ(x, y, z, z)
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卡爾松(Carlson)在 [Carlson78]中證明
勒讓德形式和卡爾松(Carlson)形式的橢圓積分由下面的方程聯繫起來:
特別地,
計算橢圓積分的通常方法是 高斯－蘭登 變換, 二次收斂對第一類和第二類橢圓積分運用良好. 不幸的是，對於第三類橢圓積分它們存在數字精度的損失. 卡爾松(Carlson)算法
[Carlson79] [Carlson78],
相比之下, 對所有的三種橢圓積分提供了滿足精度要求的方法。
特別提及:
A. M. Legendre, Traitd des Fonctions Elliptiques et des Integrales
Euleriennes, Vol. 1. Paris (1825).
而主要的參考資料是:
-
M. Abramowitz and I. A. Stegun (Eds.) (1964) Handbook of Mathematical
Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, National Bureau
of Standards Applied Mathematics Series, U.S. Government Printing Office,
Washington, D.C.
-
B.C. Carlson, Computing elliptic integrals by duplication,
Numerische Mathematik, vol 33, 1 (1979).
-
B.C. Carlson, Elliptic Integrals of the First Kind,
SIAM Journal on Mathematical Analysis, vol 8, 231 (1977).
-
B.C. Carlson, Short Proofs of Three Theorems on Elliptic Integrals,
SIAM Journal on Mathematical Analysis, vol 9, 524 (1978).
-
B.C. Carlson and E.M. Notis, ALGORITHM 577: Algorithms for
Incomplete Elliptic Integrals, ACM Transactions on Mathematmal
Software, vol 7, 398 (1981).
-
B. C. Carlson, On computing elliptic integrals and functions.
J. Math. and Phys., 44 (1965), pp. 36-51.
-
B. C. Carlson, A table of elliptic integrals of the second
kind. Math. Comp., 49 (1987), pp. 595-606. (Supplement, ibid.,
pp. S13-S17.)
-
B. C. Carlson, A table of elliptic integrals of the third kind.
Math. Comp., 51 (1988), pp. 267-280. (Supplement, ibid., pp. S1-S5.)
-
B. C. Carlson, A table of elliptic integrals: cubic cases.
Math. Comp., 53 (1989), pp. 327-333.
-
B. C. Carlson, A table of elliptic integrals: one quadratic
factor. Math. Comp., 56 (1991), pp. 267-280.
-
B. C. Carlson, A table of elliptic integrals: two quadratic
factors. Math. Comp., 59 (1992), pp. 165-180.
-
B. C. Carlson, Numerical
computation of real or complex elliptic integrals.
Numerical Algorithms, Volume 10, Number 1 / March, 1995, p13-26.
-
B. C. Carlson and John L. Gustafson, Asymptotic
Approximations for Symmetric Elliptic Integrals, SIAM
Journal on Mathematical Analysis, Volume 25, Issue 2 (March 1994), 288-303.
下面的參考資料並沒有直接與庫的實現相關,
但或許也同樣有趣:
-
R. Burlisch, Numerical Compuation of Elliptic Integrals and
Elliptic Functions. Numerical Mathematik 7, 78-90.
-
R. Burlisch, An extension of the Bartky Transformation to Incomplete
Elliptic Integrals of the Third Kind. Numerical Mathematik
13, 266-284.
-
R. Burlisch, Numerical Compuation of Elliptic Integrals and
Elliptic Functions. III. Numerical Mathematik 13, 305-315.
-
T. Fukushima and H. Ishizaki, Numerical
Computation of Incomplete Elliptic Integrals of a General Form.
Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, Volume 59, Number 3 / July,
1994, 237-251.
