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反雙曲函數概覽

對於所有的使下面的函數具有意義的數值定義了指數函數 以及n的階乘的冪級數 , 其中n! = 1x2x3x4x5...xn (且由定義可知0! = 1 ) . 特別地, 對於實數,複數,四元數,八元數,指數函數是定義良好地,尤其是對於複數的矩陣。

Graph of exp on R

exp_on_r

Real and Imaginary parts of exp on C

im_exp_on_c

雙曲函數可以看作使用下面方式來計算的冪級數來定義 (對於實數, 複數, 四元數 以及八元數) :

雙曲餘弦:

雙曲正弦:

雙曲正切:

Trigonometric functions on R (cos: purple; sin: red; tan: blue)

trigonometric

Hyperbolic functions on r (cosh: purple; sinh: red; tanh: blue)

hyperbolic

雙曲正弦在實數集上是一一映射, 範圍為實數全集, 但雙曲正切函數在實數範圍[0;+∞]是一一對應的,因此它們都有反函數。雙曲餘弦函數在範圍[-∞;+1][-∞;-1] 以及從 [+1;+∞[-∞;-1])是一一映射,這裡我們所定義的反函數是在[-∞;-1 ]範圍為[-∞;+1].

雙曲正切函數的反函數叫作輻角雙曲正切(Argument hyperbolic tangent), 可以通過下面的方法計算.

雙曲正弦函數的反函數叫作輻角雙曲正弦(Argument hyperbolic sine), 可以通 過下面的方法計算 (對於範圍[-1;-1+ε]) .

雙曲餘弦函數的反函數叫作輻角雙曲餘弦(Argument hyperbolic cosine), 可以通過下面的方法計算.


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